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傅里叶变换和正交变换  

2009-05-28 15:06:47|  分类: 数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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       1. 将周期性函数看作是一系列正弦函数的叠加,其中常数项是本底,周期的倒数是基频,谐频是基频的整数倍。这个过程称为傅里叶变换。非周期函数可以用一系列连续频率展开成傅里叶积分变换。这种连续频率是直观上不易理解的。如果将函数做复数傅里叶变换,我们看以看到会得出负频率的分量,我们认为负频率应该被理解为向相反方向传播的波。

       2. 奇函数傅里叶变换为正弦项叠加,偶函数傅里叶变换为余弦叠加,一般的为正弦和余弦项叠加。

       3. 傅里叶变换的物理意义:如果认为原函数是声音强度的时间分布,傅里叶变换后得到的是强度的频率分布。声音的时间强度就是我们听到的综合声音大小。傅里叶变换后色频率分布就是单音频的强度的时间积分。

      4. 如果原函数是图像信号强度的二维空间分布,傅里叶变换后得到的是图像信号强度的二维空间频率分布。这个空间频率应该理解为被照明(投射)图像背后在一定方方向的出射强度。这个正好对应于图像在透镜后焦平面的上的强度分。

      5. 傅里叶变换不仅是一种数学运算,更重要是的它是信号传递过程中,设备的输入输出的结果,一个信号通过一个处理设备,等于一个数字经过了一次运算。有些设备对信号的处理结果恰恰就是傅里叶变换  。有些运算在时间域处理方便(制作仪器的方法简单),有些运算在频率域处理起来简单。因此傅里叶变换不仅有数学意义,而且有应用价值。

     6. 傅里叶变换的思想不仅适用于正弦余弦类函数,同样适用于其他正交函数系列,和数字信号处理中的拉普拉斯变换、z变换的思想也是相通的。

      7.只要我们用不同的方式(等价地)表达同一个事物,两种表达方式之间必然存在一个变换(翻译过程),l例如可以分别用中文或英文书写同一个合同书(条约),中、英文之间就存在一个与傅里叶变换相似的变换,不过不是正交变换。文革中提倡使用毛主席语录,我们的任何文章都可以用有限条毛主席语录组成,同样在旧社会,我们的一篇文章可以完全用论语中的话组成,这种现象,并不奇怪。就是一个不同的表达方式而已,不同的表达方式之间必定存在一个变换。

   8.用不同坐标系参数表示同一条几何曲线的方程是不一样的,两种表达方式之间一定存在一个坐标变换。这种变换称为张量

            这里没有说清正交的含义,待我想想怎么表述才能通俗。

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