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δ 函数——1  

2013-12-02 10:03:11|  分类: 数理方法 |  标签: |举报 |字号 订阅

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1°Dirac δ 函数的定义 
  
    定义:一维δ函数­,满足下列条件:

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        尽管δ(0)趋近于无穷大,对它的积分却等于1,即对应着δ函数的‘面积’或‘强度’等于1,所以δ(x)又叫做单位脉冲函数。很显然,等式:

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成立。  其中,f(x)是定义在区间(-∞,∞)上的连续函数,——δ函数­的选择作用。

 
*δ(0)定义的另外形式:在(1)和(2)中变换原点,得到:

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其中a为任意常数。
         因此,用δ(x-a)乘x的函数,并对所有x积分的过程,等效于用a代替x的过程。 在光学里,δ(x)函数常常用来表示位于坐标原点的具有单位光功率的点光源,由于点光源所占面积趋近于零,所以在x=0点功率密度趋近于无穷大。  
        2°  δ(x) 函数可以用一些连续函数的极限来表示

                1)、归一化的Gauss分布函数G(x):高斯函数,的方(标准)差 σ
→0 时,概率密度是一个δ-函数

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 该函数具有如下的性质:

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当σ→0时,G(x)就趋向于δ(x),即:

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证明:由(4)式可以看出,当x=0,σ→0时,

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而当x≠0,σ→0时,由公式(5)得:

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所以由公式(6)所定义的函数满足δ(x)函数的条件(1)式。可见归一化的Gauss函数的序列极限可以表示δ(x)函数。

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4)、阶跃函数的导数也可以表示Dirac δ(x)函数。
根据第一次课所讲的内容可知,阶跃函数step(x)也称为Heaviside函数,也可以用H(x)表示,其定义如下:

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函数H(x-a)对x的导数也满足δ(x)的条件,即:

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        根据以上讨论,再结合式(3)可知,Heaviside函数H(x-a)对x的导数可以表示Dirac δ(x)函数,即式(10)成立。
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